Aritmetik, matematiğin en temel dalı olup sayılar ve işlemler üzerine kuruludur. Dört temel işlem şunlardır:
Toplama (+): İki veya daha fazla sayının birleştirilmesi işlemidir.
Çıkarma (-): Bir sayıdan diğer sayının çıkarılması işlemidir.
Çarpma (× veya ·): Aynı sayının tekrarlı toplamıdır.
Bölme (÷ veya /): Bir sayının diğerine kaç kez sığdığını bulma işlemidir.
İşlem Önceliği (İspat)
Matematikte işlemler belirli bir sırayla yapılır:
Parantez içindeki işlemler
Üslü ifadeler
Çarpma ve bölme (soldan sağa)
Toplama ve çıkarma (soldan sağa)
İspat: İşlem önceliği, matematiksel ifadelerin tek bir şekilde yorumlanabilmesi için geliştirilmiş bir konvansiyondur. Örneğin, 2 + 3 × 4 ifadesi (2 + 3) × 4 = 20 veya 2 + (3 × 4) = 14 şeklinde iki farklı sonuç verebilir. Standart kabul edilen işlem önceliği (çarpmanın toplamadan önce) ile bu ifade tek bir sonuca (14) sahiptir.
Örnek:
8 ÷ 2 × (2 + 2) işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
1. Önce parantez içi: (2 + 2) = 4
2. İşlem: 8 ÷ 2 × 4
3. Çarpma ve bölme soldan sağa: 8 ÷ 2 = 4, sonra 4 × 4 = 16
Sonuç: 16
Kesirler ve Ondalık Sayılar
Kesirler, bir bütünün eşit parçalarını ifade eder. Ondalık sayılar ise kesirlerin 10'un kuvvetleri şeklinde yazılmasıdır.
Bölme: İlk kesir, ikinci kesirin çarpmaya göre tersi ile çarpılır.
a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc
İspat (Kesirlerde Bölme): a/b ÷ c/d = x olsun. Tanım gereği, x × c/d = a/b olmalıdır. Her iki tarafı d/c ile çarparsak: x × (c/d) × (d/c) = (a/b) × (d/c) ⇒ x × 1 = ad/bc ⇒ x = ad/bc. Dolayısıyla a/b ÷ c/d = ad/bc.
Ondalık Sayılar
Ondalık sayılar, 10'un kuvvetleri ile ifade edilebilen kesirlerdir:
Matematikte sayılar, özelliklerine göre farklı kümelerde sınıflandırılır.
Doğal Sayılar (N): N = {0, 1, 2, 3, ...}
Tam Sayılar (Z): Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Rasyonel Sayılar (Q): a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayılar.
İrrasyonel Sayılar (I): Rasyonel olmayan gerçek sayılar. (√2, π, e gibi)
Gerçek Sayılar (R): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi.
İspat (√2'nin irrasyonel olduğu): Kabul edelim ki √2 rasyonel olsun. O zaman √2 = a/b şeklinde yazılabilir, burada a ve b aralarında asal tam sayılardır. Her iki tarafın karesini alırsak: 2 = a²/b² ⇒ a² = 2b². Bu durumda a² çifttir, dolayısıyla a da çifttir. a = 2k diyelim. Yerine koyarsak: (2k)² = 2b² ⇒ 4k² = 2b² ⇒ 2k² = b². Bu da b²'nin çift, dolayısıyla b'nin çift olduğunu gösterir. Ancak bu, a ve b'nin aralarında asal olma şartı ile çelişir. Çelişkiye vardığımıza göre, √2 rasyonel olamaz.
Örnek:
Aşağıdaki sayıları uygun sayı kümelerine yerleştirin:
1) 5 (Doğal, Tam, Rasyonel, Gerçek)
2) -3 (Tam, Rasyonel, Gerçek)
3) 2/3 (Rasyonel, Gerçek)
4) √5 (İrrasyonel, Gerçek)
Üslü İfadeler
Üslü ifade, bir sayının kendisiyle çarpılma sayısını gösteren gösterimdir.
aⁿ = a × a × a × ... × a (n tane)
Üslü İfade Kuralları
Çarpma Kuralı: Tabanlar aynı ise üsler toplanır.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Bölme Kuralı: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Kuvvetin Kuvveti: Üsler çarpılır.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Dağılma Özelliği:
(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0)
İspat (Çarpma Kuralı): aᵐ = a × a × ... × a (m tane) ve aⁿ = a × a × ... × a (n tane). Bu iki ifadeyi çarparsak: aᵐ × aⁿ = (a × a × ... × a) (m tane) × (a × a × ... × a) (n tane) = a × a × ... × a (m+n tane) = aᵐ⁺ⁿ.
Denklem, içinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin belirli değerleri için doğru olan eşitliktir.
ax + b = 0 (Birinci dereceden denklem)
Denklem Çözme Adımları
Bilinmeyenleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa topla
Her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına böl
Çözümü kontrol et
İspat (Birinci Dereceden Denklemin Tek Çözümü): ax + b = 0 denkleminde, a ≠ 0 olduğunu varsayalım. Denklemin her iki tarafından b çıkaralım: ax = -b. Her iki tarafı a'ya bölelim: x = -b/a. Bu, denklemin tek çözümüdür. Eğer a = 0 ise, durum farklıdır: 0·x + b = 0 ⇒ b = 0. Bu durumda tüm x değerleri için doğru olur (sonsuz çözüm) veya b ≠ 0 ise hiç çözüm yoktur.